Grundzüge einer quantitativen Genealogie (Rösch)/014
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Es besteht nun eine exakte mathematische Beziehung zwischen gb und b. Es ist nämlich b = 1/2gb = 2-gb oder gb = -log2b.
| Für die Grade | gb | = | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | usf. |
| ist somit | b | = | 1 | 1/2 | 1/4 | 1/8 | 1/16 | 1/32 | usf. |
Wir haben an obigen Beispielen schon gesehen, wie bei mehrfacher Vws. sich die einzelnen Teil-b-Werte additiv zusammensetzen. Jedem derselben entspricht aber auch ein ganzzahliges gb. Zwar lassen sich diese, da gb und b zueinander in logarithmischer Beziehung stehen, nicht ohne weiteres auch addieren; aber man kann zu dem endgültigen b rückwärts einen gb-Wert berechnen, den wir zum Unterschid vom „ausführlichen biologischen Verwandtschaftsgrad“ (bVG.) gb den „summarischen bVG.“ nennen und mit g’b bezeichnen wollen. Er ist im allgemeinen keine ganze Zahl, sondern ein Dezimalbruch zwischen 0 und ∞.
Als Beispiele für solche Berechnungen dienen uns wieder die der Fig. 2–6. Im Fall der einfachen Beziehung nach Fig. 2 ergibt sich natürlich zu b = 1/64 blos gb = 6 (gj wäre = 7). Man liest gb aus der Figur 7 ab durch Zählen der Schritte von A nach N und von N nach A unter Springen von E zu seinem Geschwister H, wobei dieser Sprung ebenfalls als ein Schritt gezählt wird. Für Fig. 4 wird ebenso wie für Fig. 5 b = 5/64 und gb = 4;6, und es berechnet sich g’b = - log25/64 = 3.678, also ein summarischer bVG. etwas kleiner las der 4., da ja diesem selbst noch ein 6. Grad sich zufügt. Und schließlich ergibt Fig. 6: b = 33/128 = 0.258, gb = 2;7 g’b = 1.956. Im letzteren Fall sind also infolge der Beziehung 7. Grades über F die Partner A und N etwas näher verwandt als es dem einfachen Onkel-Neffen-Verhältnis entspricht (2. Grad), und die Berechnung gibt mit g’b einen quantitativen Zahlenwert, der gut mit der Erwartung harmoniert.
Bei mehrfachen Vws. ist übrigens die Beziehung zwischen b und gb auch so zu deuten, daß b in Stammbrüche (mit dem Zähler 1) zerlegt wird, die als Nenner Potenzen von 2 haben; es entspricht dann gb den einzelnen Exponenten dieser Potenzen, z. B. 31/64 = 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64, gb = 2;3;4;5;6.
Die Umrechnungen zwischen b, gb und g’b sind oft etwas mühsamer Natur. Es wird daher für häufigere Berechnungen dieser Art erwünnscht sein, in der folgenden Tabelle 1 eine wohl für die meisten praktischen Fälle ausreichende Sammlung zu haben. Die Zahlen sind hierin auf mehr Stellen berechnet, als man meist brauchen wird: für g’b und b genügen gewöhnlich je 2 Stelen rechts vom Komma.
In der Tabelle 1 dient der Teil 1a vorwiegend dazu, zu einzelnen oder zu mehreren bekannten gb-Werten die zugehörigen b-Werte abzulesen. Ist z. B. gb = 1;5;6;7;9, so entnimmt man bei gb = 1;5;6 b = 0.547 und bei gb = 7;9 b = 0.010. Zu der Summe b = 0.557 (die man gleicherweise auch aus den Einzel-b-Werten